數學 / 條件機率

條件機率與貝氏定理

先縮小樣本空間，再用面積、人數與公式檢查直覺。

第 1 節 / 共 3 節

同一個 B 標記，可能來自哪些人？

真陽性 90.0；偽陽性 90.0；P(A｜B) = 90.0 / 180.0 = 50.0%。

觀察 → 推導 → 理解

以 1000 個物件作示意，A 表示具有某特徵，B 表示檢測標記為陽性。本頁是抽象機率模型，不對應任何真實檢測。

A 物件可能被標成 B，非 A 物件也可能被誤標成 B。表中人數是機率乘 1000 的期望人數，可能含小數；不是抽樣得到的實際個體。

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

P(A^c\cap B)=P(A^c)P(B\mid A^c)

收到 B 標記，不保證一定屬於 A。

想一想：非 A 占 900 件，誤標率 10%，預期誤標多少件？

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重點問答

以 1000 個物件作示意，A 表示具有某特徵，B 表示檢測標記為陽性。本頁是抽象機率模型，不對應任何真實檢測。 A 物件可能被標成 B，非 A 物件也可能被誤標成 B。表中人數是機率乘 1000 的期望人數，可能含小數；不是抽樣得到的實際個體。

條件「已知 B」表示其他物件不在這次問題的樣本空間內。分母改成全部 B，分子則是其中也屬於 A 的部分。若 A 占 10%、靈敏度與特異度均為 90%，1000 件中預期真陽性 90、偽陽性 90，所以陽性中的 A 比例為一半。

全部 B 可分成互斥的兩部分：來自 A 的 B，以及來自非 A 的 B。把這個分解放進條件機率分母，就得到貝氏定理。即使非 A 的誤標率低，非 A 的基數很大時，誤標數仍可能超過真陽性。這是基礎比率不能省略的原因。