物理可操作模型
單擺週期
T ≈ 2π√(L/g)
試著觀察
固定釋放角，把擺長增加：擺完一次需要更久嗎？
長度 1.2 m 時，小角度近似週期約 2.20 s。
薄荷綠箭頭為瞬時速度向量：方向沿圓弧切線，長度隨速度改變；公式採小角度近似。
這與課本有什麼關係？
擺長增加，週期依 √L 增加。小角度時，擺長變成四倍，週期才變成兩倍；大角度只能用此公式近似。
無界學堂 / 互動學習
動手探索，
讓理解慢慢成形。
在互動圖鑑中，挑一個模型動手探索；
或跟著一份講義，把想法一步步推導清楚。
ATLAS / 即時探索
挑一個好奇的問題。
每張卡都能直接操作，往下滑，接著探索。
查看介紹與例題
數學可操作模型
正弦波參數
y = 1 sin(1x + 0) + 0
試著觀察
先只改 D，再只改 A：哪個移動中線，哪個改變上下振幅？
振幅 1週期 2π中線 y = 0
這與課本有什麼關係？
y = A sin(Bx+C)+D 中，振幅是 |A|，週期是 2π/|B|，中線是 y=D。A 為負時圖形還會上下翻轉。
物理可操作模型
靜力平衡
2T = W，F = W / 2
試著觀察
增加拉繩幅度，對照繩端與重物的移動距離。
理想狀態所需拉力約 196.2 N；繩端移動 0.8 m，負載移動 0.4 m。
忽略滑輪與繩的質量及摩擦；同一條繩張力相同，動滑輪由兩股張力共同支撐。
這與課本有什麼關係？
理想動滑輪由兩股張力支撐，2T=W，所以拉力為重量一半。但繩端移動距離是重物的兩倍，省力不省功。
物理可操作模型
動量與衝量
J = ∫F dt = Δp
試著觀察
同樣大小的力，作用更久時，速度改變多少？
外力停止時，衝量為 4.8 N·s，箱子速度為 3.20 m/s。
箱子質量固定 1.5 kg、由靜止開始；施力停止後因平面無摩擦而保持等速。
這與課本有什麼關係？
固定外力的衝量是 FΔt，也等於動量變化。質量固定時，施力越久，速度改變越大；停止施力後，光滑面上的物體繼續等速移動。
化學可操作模型
定量氣體狀態
P ∝ T / V（n 固定）
試著觀察
固定溫度、縮小體積，壓力讀數會怎麼變？
相對於 300 K、體積 1.0，壓力約為 1.00 倍。
粒子動畫是示意；即時數值依理想氣體、物質的量固定比較。
這與課本有什麼關係？
固定粒子數時，pV 與絕對溫度 T 成正比。容器縮小使碰壁更頻繁；升溫則增加分子的平均動能。
物理可操作模型
拋體運動
R = v₀² sin(2θ) / g
試著觀察
固定初速，比較 30° 與 60°：射程和最高點都一樣嗎？
忽略空氣阻力、同高度落地時，射程約 40.8 m，滯空 2.88 s。
畫布採固定公尺刻度；改變初速或仰角時，可直接比較軌跡的水平距離與最高高度。
這與課本有什麼關係？
不計空氣阻力、落地高度相同時，互餘仰角有相同射程；較高仰角的滯空時間與最高點較大。
物理可操作模型
一維碰撞
p前 = p後，e = 分離速率 / 接近速率
試著觀察
比較完全彈性與完全非彈性碰撞，碰撞後兩物體的速度有何差別？
碰後速度約為 0.69 與 3.09 m/s；動能保留 85%。
甲初速 3.0 m/s、乙靜止；e = 1 為完全彈性，e = 0 為完全非彈性。
這與課本有什麼關係？
無外界衝量時總動量守恆；只有完全彈性碰撞同時保留總動能。完全非彈性碰撞後兩物體同速。
地科可操作模型
月相週期
朔望月 ≈ 29.53 日
試著觀察
移動月球位置，觀察亮面比例：滿月和新月時日、地、月如何排列？
第 7.4 日：從地球觀察接近 上弦月。
拖動月球位置，比較太陽、地球與月球的相對方位。
這與課本有什麼關係？
月球始終約有一半被太陽照亮，但從地球看見的亮面比例會改變。月相不是地球影子造成的。
地科可操作模型
天球與升落方位
h = f(φ, δ, H)
試著觀察
換到另一個緯度，觀察指極星高度和太陽升落方位。
8 月 30 日 20:00，目前太陽高度 -21.9°、月亮高度 3.5°。
播放鍵會沿 2026 年逐日推進。時刻採基準經線上的地方平均太陽時；升落已納入大氣折射近似，未計地形、天氣與視野遮蔽。
這與課本有什麼關係？
北天極高度約等於觀測地的北緯。太陽路徑還受季節影響，因此日期、緯度與時刻需要分開比較。
物理可操作模型
轉動與轉動慣量
I = Σmr²，τ = Iα
試著觀察
固定淨力矩，把兩顆質點移離轉軸，角加速度如何改變？
轉動慣量 1.28 kg·m²，角加速度 1.56 rad/s²。
這與課本有什麼關係？
兩個等質量質點的轉動慣量 I=2mr²。相同淨力矩下，質點離軸越遠，I 越大，角加速度 α=τ/I 越小。
物理可操作模型
波的傳播與疊加
y = y₁ + y₂
試著觀察
把兩波振幅設成相同，再把相位差調到 180°。合成波還有起伏嗎？
第二列波振幅 1.0 cm、相位差 60°；重疊區位移依瞬時相位相加。
藍線為波 1、金線為波 2、綠線為逐點相加的合成波。
這與課本有什麼關係？
合位移是同一位置的兩個位移相加。同振幅、反相時可完全抵消；同相時振幅相加。
物理可操作模型
聲音、共鳴與駐波
fₙ = nv / 2L
試著觀察
固定管長，逐次增加模態階數，數一數波腹增加了幾個。
管長 1.0 m、第 2 模態，共鳴頻率約 340 Hz。
曲線表示壓力擾動：固定不動處為壓力節點，振幅最大處為壓力波腹。
這與課本有什麼關係？
這裡畫壓力擾動：開口是壓力節點。第 n 模態容納 n 個半波長，頻率為 nv/(2L)。播放為慢動作示意。
物理可操作模型
光的反射與折射
n₁ sinθ₁ = n₂ sinθ₂
試著觀察
固定入射角，增加下層折射率。折射線靠近還是遠離法線？
入射角 40°，折射角約 25.4°。
虛線為法線；金色入射、橘色反射、綠色折射。
這與課本有什麼關係？
角度一律從法線量起。空氣進入折射率較大的介質時，折射角較小；反射角始終等於入射角。
物理可操作模型
凸透鏡成像
1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ
試著觀察
先把焦距設為 20 cm，再把物距從 40 cm 移到 12 cm，比較像的方向。
物距 36 cm、焦距 12 cm，實像像距 18.0 cm。
金色箭頭是物體，橘色箭頭是成像；實像倒立、虛像正立。虛線為出射光反向延長，像超出畫框時不壓縮比例。
這與課本有什麼關係？
物體在焦外形成倒立實像；焦內形成正立放大虛像。虛像由出射光的反向延長線相交得到，物在焦點時無有限距離的像。
物理可操作模型
熱量、比熱與熱平衡
Q = mcΔT
試著觀察
固定熱水溫度，增加熱水質量比；最後水溫會更接近哪一杯？
與 20°C、等基準質量的冷水混合後，平衡溫度約 45.0°C。
拖動觀察進度，兩杯溫度靠近同一平衡值；水量比固定，比熱相同且不散熱。
這與課本有什麼關係？
忽略散熱且兩杯比熱相同，平衡溫度為質量加權平均。熱水放熱等於冷水吸熱，並非任何時候都直接平均兩個溫度。
物理可操作模型
壓力、浮力與密度
Fᴮ = ρ液gV排
試著觀察
把物體密度調到小於、等於、大於液體密度，對照三種結果。
物體漂浮，浸入比例約 75%。
液面位於畫面中央；橘色向下箭頭為重力、薄荷色向上箭頭為浮力，沉底時金色 N 為容器支持力。
這與課本有什麼關係？
漂浮時，浮力等於重力，浸水比例等於密度比；沉底時還有容器支持力，不能只畫浮力與重力。
物理可操作模型
直線運動圖像
x = x₀ + v₀t + ½at²
試著觀察
把加速度調成負值，再拖動觀察進度：速度何時變零、何時反向？
模擬 4 秒後，速度為 8.0 m/s，位移為 24.0 m。
小車、位置曲線與速度線使用同一個模擬時間。
這與課本有什麼關係？
位置圖斜率就是速度。速度為零時位置曲線出現水平切線；速度變負代表往負方向移動，不代表位置一定為負。
物理可操作模型
牛頓定律與摩擦力
ΣF = ma
試著觀察
外力固定，增加摩擦力，觀察合力箭頭如何縮短。
箱子質量固定 5 kg；合力 22 N，加速度 4.4 m/s²。
橘色箭頭為外力，金色箭頭為摩擦力，綠色箭頭為合力；只比較向右滑動當下的受力。
這與課本有什麼關係？
此圖比較向右滑動當下的水平受力，質量固定 5 kg。摩擦力超過外力時加速度向左，物體會減速，不能據此認定它已向左運動。
物理可操作模型
功、動能與位能
K + U + 熱能 = 初始總能量
試著觀察
把耗散設為 0，再增加耗散比例，觀察底部動能與熱能。
從 5.0 m 滑下、耗散 10% 時，底部速度約 9.4 m/s。
右側位能、動能與熱能相加保持不變；拖動進度比較下降位置，並非等速或等時間運動。
這與課本有什麼關係？
下降減少的位能分成動能與熱能。三種能量相加維持初始 mgh；圖中質量固定 1 kg，進度表示下降位置而非等時間運動。
物理可操作模型
並聯電路與歐姆定律
V = IR
試著觀察
固定電壓，將支路電阻增加一倍，支路電流如何改變？
單一支路電流 2.00 A；兩個相同支路並聯時總電流加倍。
移動光點表示傳統電流方向，燈泡亮度依功率改變。
這與課本有什麼關係？
兩個相同電阻並聯時，每支路承受相同電壓，各有 I=V/R。總電流是兩支路相加；兩支路的傳統電流方向一致。
物理可操作模型
電流磁效應與電磁感應
ℰ = −N ΔΦᴮ/Δt
試著觀察
固定磁鐵移動速率，增加線圈匝數，比較感應訊號的幅度。
相對感應電動勢指標 1.40；速度或匝數增加都會放大訊號。
線圈固定在中央；磁鐵以紅色 N 極、粉藍色 S 極區分，頂端文字標示正在接近、穿越或離開線圈，感應電流方向隨磁通量變化反轉。
這與課本有什麼關係？
感應電動勢與磁通量的變化率及匝數有關。相同運動下，匝數增加使訊號變大；方向依楞次定律阻抗磁通量變化。
物理可操作模型
等速圓周運動
Fᶜ = mv²/r
試著觀察
固定半徑，增加速率，對照切線速度箭頭與向心加速度。
向心加速度 12.0 m/s²；速度箭頭沿切線，合力箭頭指向圓心。
薄荷色為速度向量，橘色為向心合力向量。
這與課本有什麼關係？
速度方向沿切線，向心加速度指向圓心。a=v²/r，所以速率加倍使向心加速度變為四倍。
物理可操作模型
彈簧簡諧運動
T = 2π√(m/k)
試著觀察
固定彈性常數，增加質量，觀察往返時間。
理想週期約 0.86 s；質量增加會變慢，彈簧變硬會變快。
速度向量在平衡點最大，回復力向量永遠指向平衡點。
這與課本有什麼關係？
T=2π√(m/k)。質量越大越慢、彈簧越硬越快；平衡點速度最大，兩端速度為零且回復力最大。
物理可操作模型
電場、電位與帶電粒子
E = kq/r²
試著觀察
先設左右同為 +1，再把右側調到 −1。中點合電場變成什麼方向？
左側固定 +1，右側為 +1.0；間距 3.0 m。
場線方向依正試驗電荷定義，中央箭頭顯示局部合電場。
這與課本有什麼關係？
正電荷的場向外、負電荷的場向內。相等同號電荷在中點抵消；相等異號電荷在中點同向相加。
化學可操作模型
粒子運動與三態
Ēₖ ∝ T
試著觀察
從低溫調到高溫，比較粒子排列；再固定溫度增加壓力。
目前 70°C、1.0 atm，呈現液態示意；升溫使粒子加速，加壓使可活動空間縮小。
相變門檻只用來比較粒子排列，不代表特定物質的真實相圖。
這與課本有什麼關係？
固態主要原地振動，液態能滑動，氣態較分散。這是一般粒子示意，顯示的相變門檻不屬於特定真實物質。
化學可操作模型
原子結構與離子
q = (Nₚ − Nₑ)e
試著觀察
固定質子數，只增加或減少電子，元素種類與電荷哪一個會改變？
原子序 11，目前淨電荷 +1。
電子沿簡化能階運動；這是教學模型，不代表電子的真實軌道。
這與課本有什麼關係？
質子數決定元素；質子與電子數的差決定淨電荷。改變電子數產生離子，不會把元素變成另一種。
化學可操作模型
溶解度曲線與結晶
S = mₛ / 100 g water
試著觀察
固定溶質量，逐漸降低溫度，觀察什麼時候杯底開始出現固體。
此教學曲線下可溶約 52 g；約有 3 g 析出。
橘色點標示目前條件，杯底晶體量與超出溶解度的部分連動。
這與課本有什麼關係？
曲線表示每 100 g 水最多溶解的克數。超出的量留為固體；曲線與溶質量相等時剛好飽和。這是示意曲線。
化學可操作模型
質量守恆與粒子重組
m反應物 = m生成物
試著觀察
拖動反應進度，數一數反應前後 H 與 O 的總數有沒有改變。
4 組反應單位，設定進度 60%；每組 2H₂＋O₂ 可生成 2H₂O，原子總數不變。
滑桿改變的是重新組合比例，畫面上下方的原子計數不變。
這與課本有什麼關係？
2H₂+O₂→2H₂O。改變的是原子的連接方式，不是原子的種類與數量；密閉系統中總質量守恆。
化學可操作模型
限量試劑
2A + B → A₂B
試著觀察
先固定 B，再增加 A。當 B 用完後，增加 A 還能多生成產物嗎？
可配成 3 個 A₂B；剩餘 A 1 個、B 1 個。
離散粒子以 2:1 配成完整組；上方為投入粒子，右側為產物，淡色代表已使用。
這與課本有什麼關係？
2A+B→A₂B，每一組需 2 個 A 和 1 個 B。只能配出完整組的粒子模型，最先用完者限制生成數量。
化學可操作模型
氧化還原與電子轉移
Ox + ne⁻ → Red
試著觀察
沿著外電路觀察電子由哪邊移向哪邊，再比較轉移電子數。
每次反應轉移 2 個電子；電池電位差為 1.5 V。
薄荷色電子沿外電路由氧化槽流向還原槽；動畫速率僅編碼電位差訊號強弱，不代表真實電子漂移速率與電壓成正比。
這與課本有什麼關係？
失去電子是氧化、得到電子是還原。電子由氧化端供給還原端，與傳統電流方向相反。
化學可操作模型
酸鹼滴定曲線
n(H⁺) = n(OH⁻)
試著觀察
慢慢增加滴入鹼液，在當量體積附近比較 pH 改變幅度。
強酸強鹼模型的當量體積 20.0 mL；目前 pH 約 7.00。
假設 25.0 mL 一元強酸以 0.500 M 強鹼滴定；曲線與光點同步，虛線標示當量點。
這與課本有什麼關係？
當 H⁺ 與 OH⁻ 的莫耳數相等時到達當量點。此處為 25°C 的一元強酸強鹼模型，當量點 pH=7。
化學可操作模型
反應速率與碰撞
rate = k[A]ᵐ
試著觀察
固定溫度增加濃度，再固定濃度升溫，分別觀察粒子數與移動。
相對碰撞速率指標 2.83；指標僅為教學示意，不代表實際速率常數。
粒子數依相對濃度、速度依溫度改變；粒子接近時閃光，為碰撞機會示意。
這與課本有什麼關係？
較高濃度使碰撞機會增加，升溫提高動能與跨過活化能門檻的比例。畫面為粒子接近的示意，不是定量反應速率預測。
化學可操作模型
動態平衡與勒沙特列原理
K = [C]ᶜ[D]ᵈ/[A]ᵃ[B]ᵇ
試著觀察
增加反應物，再提高溫度，比較新平衡的組成。
此放熱示意模型的新平衡約含 62% 生成物；正逆反應仍同時進行。
兩側顯示新平衡的組成比例；雙向箭頭提醒正逆反應都仍在進行，比例為定性示意。
這與課本有什麼關係？
此處假設正反應放熱。增加反應物偏向生成物，升溫則偏向反應物；平衡時正逆反應速率相等而非停止。比例僅為示意。
地科可操作模型
四季與太陽路徑
h正午 = 90° − |φ − δ|
試著觀察
固定緯度，比較第 81、172、355 日的正午高度與晝長。
太陽赤緯 23.4°、正午高度 88.4°，理想晝長約 13.6 小時。
弧線寬度對應理想晝長；端點文字依太陽赤緯標示日出、日落偏北或偏南。
這與課本有什麼關係？
地軸傾斜造成太陽赤緯隨季節改變。北半球夏季通常正午太陽較高、白晝較長；南半球季節相反。
地科可操作模型
板塊邊界與地形
d = vt
試著觀察
依序點選張裂、錯動、聚合，觀察板塊的相對移動方向。
聚合邊界，相對速率 5 cm/年；箭頭顯示板塊運動方向。
點選邊界型態，並用滑桿調整相對速率；箭頭長度隨速率改變。
這與課本有什麼關係？
張裂分開形成新地殼，聚合可能發生隱沒，錯動是沿邊界擦過。箭頭表示相對運動，速度為長時間平均。
地科可操作模型
震源、震央與地震波
Δt = d(1/vˢ − 1/vᴾ)
試著觀察
改變震源深度，觀察 P 波與 S 波先後抵達地表的位置。
60 km 深、規模 6.0；P 波前緣永遠領先 S 波，振幅隨距離衰減。
黃色為 P 波、薄荷色為 S 波；地表三角形是測站。
這與課本有什麼關係？
P 波傳速較快，因此一般先到。震源深度、距離及介質也影響地表搖晃，不能只靠規模判斷震度。
地科可操作模型
岩石循環
岩漿 → 火成 ↔ 沉積 ↔ 變質
試著觀察
分別增加侵蝕搬運與熱壓作用，看哪條路徑更明顯。
熱壓作用 65%、侵蝕搬運 45%；熱壓—變質路徑較顯著。
四個節點區分三大岩類與岩漿；線條粗細表示熱壓或侵蝕作用的相對強度。
這與課本有什麼關係？
風化侵蝕後經沉積、壓密膠結形成沉積岩；固態受熱壓可變質。熔融先形成岩漿，冷卻凝固才成為火成岩。
地科可操作模型
鋒面與降水
ρ ∝ 1/T
試著觀察
保持冷氣團溫度，升高暖氣團溫度，比較溫差與抬升示意。
兩氣團溫差 17°C；溫差越大，模型中的抬升與對流越顯著。
藍色冷空氣插入下方，橘色暖空氣沿鋒面抬升，水滴落在雲下。
這與課本有什麼關係？
冷空氣較密，能楔入暖空氣下方使其抬升。是否降雨還取決於濕度等條件，本模型不能據溫差預測雨量。
地科可操作模型
颱風結構與能量
f = 2Ω sinφ
試著觀察
固定緯度改變海溫，再固定海溫改變緯度，觀察示意環流。
海溫 29.0°C、北緯 18°；暖海與足夠科氏力使環流指標增強。
流線逆時針旋入，中央留出風弱少雲的颱風眼。
這與課本有什麼關係？
暖海提供水氣與能量，科氏力有助建立旋轉。颱風還受風切等因素影響，不能只用海溫和緯度預測強度。
地科可操作模型
日月引潮力與潮汐
F潮 ∝ M/r³
試著觀察
將月球方位調到 0°、90°、180°，比較潮汐外框的長短。
日月引潮方向疊加指標 50%，太陽相對影響 1.0；接近小潮。
此圖簡化比較潮差：月球引潮軸會轉動，太陽方向固定向右；日月同線時潮差增大、接近直角時減小，不作區域潮位預報。
這與課本有什麼關係？
日月接近同一直線時引潮效應較強，接近直角時較弱，分別對應大潮、小潮。這是幾何示意，非各地潮時預報。
地科可操作模型
地球能量收支與氣候
S(1 − α)/4 = σTₑ⁴
試著觀察
固定反照率，增加 CO₂；再固定 CO₂，增加反照率，比較輻射強迫的正負。
相對前工業條件的簡化頂層輻射強迫約 +2.17 W/m²。
黃色箭頭是短波，橘色箭頭是長波；反照率項採 S₀/4 的全球平均近似，返回地表的長波符號隨溫室氣體增加。
這與課本有什麼關係？
溫室氣體增加使散熱較困難，反照率增加讓吸收的陽光減少。這裡比較簡化能量收支，不把輻射強迫直接當作氣溫。