圓面積的求法
把圓切開、排列、展開,看見圓面積公式從哪裡來。
圓周率與圓面積
開啟互動講義無界學堂 / 互動學習
先了解自己的學習偏好,再選擇互動圖鑑、講義、遊戲、科技拆解或元素週期表,開始探索。
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可查互動講義與圖解模型;每份內容保留先備概念與適用說明。
共 85 份內容,先顯示 6 份。
把圓切開、排列、展開,看見圓面積公式從哪裡來。
圓周率與圓面積
開啟互動講義從方格排列辨認質數,用篩法找出 120 以內的質數,再把分組圖與乘法連成標準分解式。
質數、質因數分解與標準分解式
開啟互動講義改接電池與燈泡,先預測、再閉合開關;一起理解串聯、並聯、歐姆定律與電功率。
電流、電壓與電阻
開啟互動講義從 118 個元素的排列探索族與週期,查看真實照片、電子殼層、電子雲及科技用途。
元素的規律與原子結構
開啟互動講義從太陽、地球與月球的相對位置,判讀朔、弦、望與中間月相。
日地月系統
開啟圖解模型沿著單位圓走一圈,讓座標、角度、曲線與代數一起變化。
三角函數
開啟互動講義點選金屬,觀察與稀酸、水或金屬離子的反應;高中另比較鹵素氧化能力。
金屬活性與氧化還原
開啟互動講義選離子觀察典型沉澱,查溶解規則、化合物說明與顏色;高中涵蓋 126 組常見組合。
水溶液、離子與沉澱反應
開啟互動講義轉動 15 個分子與離子的模型,對照孤電子對、鍵角、VSEPR 與 sp/sp²/sp³。
共價鍵、分子形狀與混成軌域
開啟互動講義辨認官能基、用碳數比較通式,觀察醣類、油脂、蛋白質與核酸的組成。
有機化合物與生物分子
開啟互動講義對照平衡前後的反應式,調整係數並核對原子數;附反應現象圖片、公開影片與年級單元標示。
化學反應式與常見反應
開啟互動講義從四片直角三角形與正方形,連起面積比較、乘法公式與幾何證明。
平方根與畢氏定理
開啟互動講義在半圓上移動直角三角形,從母子相似理解兩種平均數的大小關係。
數與式
開啟互動講義把同一堆物品分一分、拿一拿,看懂除法在問什麼,再帶著單位讀算式。
除法的意義
開啟互動講義用方格與等長零件拼出數字,分清楚「可以怎麼組成」與「重複後得到什麼」。
因數、倍數、公因數與公倍數
開啟互動講義選擇生活樣品,用虛擬試紙與導電電路做檢驗;對照真實照片、記錄證據,再解開未知樣品。
水溶液、酸鹼性、pH 與導電性
開啟互動講義從可編輯電路與節點電位,探究橋式電路、內電阻、基爾霍夫定律與能量守恆。
直流電路與電功率
開啟互動講義逐條追蹤折射光線,用相似三角形理解實像、虛像與成像公式。
幾何光學
開啟互動講義讓投影的方向、長度與座標計算連成同一件事。
平面向量
開啟互動講義選定系統與方向,再用動畫檢查碰撞前後哪些量守恆。
動量與碰撞
開啟互動講義用粒子、濃度與速率三種視角,分清反應進行與平衡位置。
化學平衡
開啟互動講義從觀測者的位置出發,一次只改緯度或季節,建立太陽路徑。
地球運動與天球
開啟互動講義交換輸入與輸出,再把圖形對稱連回運算規則。
指數與對數
開啟互動講義先縮小樣本空間,再用面積、人數與公式檢查直覺。
條件機率
開啟互動講義先觀察磁通量怎麼變,再決定感應訊號與電流方向。
電磁感應
開啟互動講義從電子域走到立體形狀,再用向量合成判斷分子極性。
化學鍵與分子結構
開啟互動講義把配方每一步連到圖形,再從交點數讀懂判別式。
多項式函數
開啟互動講義先把同一點的位移相加,再理解固定節點與空間明暗條紋。
波動與光的干涉
開啟互動講義從擺長與釋放角度出發,辨認小角度近似下真正控制週期的物理量。
圓周運動與簡諧運動
開啟圖解模型把 A、B、C、D 分別連到振幅、週期、水平位移與中線,不再只靠背圖形。
三角函數
開啟圖解模型水平方向維持等速度,鉛直方向受重力改變;兩個方向共用同一段時間。
平面運動
開啟圖解模型從定滑輪與動滑輪的組合觀察繩張力、負載與位移限制,理解合力為零如何維持平衡。
靜力平衡
開啟圖解模型把力—時間圖形下的面積連到動量變化,並區分瞬時狀態量與作用過程。
動量與衝量
開啟圖解模型比較彈性、非彈性與完全非彈性碰撞,追蹤碰撞前後速度與能量去向。
一維碰撞
開啟圖解模型把質量分布納入轉動慣量,連結力矩、角加速度與角動量。
轉動、轉動慣量與角動量
開啟圖解模型固定物質的量,利用理想氣體模型比較狀態改變前後的比例。
氣體定律
開啟圖解模型以地平座標連結緯度、日期與時刻,觀察太陽、月球和指極星在天球上的位置及升落方位。
天球與星空觀測
開啟圖解模型讓兩列波通過彼此,觀察同一位置的位移如何逐點相加。
波動與疊加
開啟圖解模型改變管長與泛音階數,觀察波節、波腹與共鳴頻率。
聲音與共鳴
開啟圖解模型拖動入射角與折射率,直接比較反射線、折射線和法線。
光的反射與折射
開啟圖解模型移動物體並改變焦距,讓主光線、像距與放大率同步更新。
透鏡成像
開啟圖解模型改變兩份水的溫度與質量比,追蹤能量流向和最後平衡溫度。
溫度與熱
開啟圖解模型調整物體與液體密度,觀察浸入比例及浮力、重力向量。
壓力、浮力與密度
開啟圖解模型讓小車與位置—時間、速度—時間圖同步,建立圖像與運動的連結。
直線運動
開啟圖解模型在粗糙平面推箱子,把外力、摩擦力、合力與加速度畫在同一畫面。
力與運動
開啟圖解模型讓小車沿軌道滑動,觀察位能、動能與摩擦耗散的即時比例。
功與能
開啟圖解模型控制電池電壓與相同支路電阻,觀察支路電流與燈泡亮度。
基本電路
開啟圖解模型移動磁鐵並調整線圈匝數,觀察感應電流方向與大小。
電流磁效應與電磁感應
開啟圖解模型讓速度向量沿切線、向心力指向圓心,直接觀察兩者互相垂直。
圓周運動
開啟圖解模型調整質量與彈性常數,觀察位移、速度與能量互換。
簡諧運動
開啟圖解模型調整兩個電荷的大小與間距,觀察場線、合電場及試驗粒子受力。
靜電學
開啟圖解模型用粒子速度與排列方式呈現固、液、氣三態,以及加熱、加壓造成的狀態改變。
物質的狀態
開啟圖解模型調整質子與電子數,讓模型即時辨認元素、淨電荷與電子層分布。
原子與元素
開啟圖解模型拖動溫度與溶質質量,同時查看溶解度曲線、溶液狀態與析出晶體。
溶液
開啟圖解模型把反應物粒子重新配對成生成物,逐一核對反應前後各元素原子數。
化學反應
開啟圖解模型以 2A + B → A₂B 的粒子配對,直接看見限量試劑、剩餘量與理論產量。
化學計量
開啟圖解模型用移動電子與電位差呈現氧化、還原同時發生,以及電池的電子流向。
氧化還原
開啟圖解模型調整酸濃度與滴入鹼液體積,觀察指示劑顏色、pH 與當量點。
酸鹼與滴定
開啟圖解模型以粒子碰撞頻率呈現溫度與濃度如何影響反應速率。
反應速率
開啟圖解模型擾動反應物濃度與溫度,觀察正逆反應速率如何重新達到平衡。
化學平衡
開啟圖解模型調整緯度與日期,觀察正午太陽高度、晝長與日出日落方位的全年變化。
地球運動與四季
開啟圖解模型切換張裂、錯動與聚合,調整板塊速率,觀察海嶺、斷層、隱沒與岩漿活動。
板塊構造
開啟圖解模型調整震源深度與規模,觀察 P、S 波前緣、地表測站到時差與震度衰減。
地震與地球內部
開啟圖解模型調整熱壓作用與侵蝕作用,觀察火成岩、沉積岩、變質岩之間可能的轉換路徑。
岩石與地質循環
開啟圖解模型調整兩氣團溫度,觀察冷鋒坡度、雲雨帶位置與鋒面移動。
天氣系統
開啟圖解模型調整海溫與緯度,觀察低壓中心、螺旋雨帶、眼牆與旋轉強度。
颱風與熱帶氣旋
開啟圖解模型改變月球方位與太陽影響,觀察兩個潮汐隆起、地球自轉與大潮小潮。
潮汐
開啟圖解模型調整溫室氣體與反照率,觀察短波入射、反射、長波放射與溫度異常。
氣候變遷
開啟圖解模型把波源速率從零提高,對照波源前後的波峰距離。
波動
開啟圖解模型固定波長,把雙縫距離加倍;亮紋會變密還是變疏?
光的波動性
開啟圖解模型切換電荷正負,再增加速率,觀察彎曲方向與軌道半徑。
帶電粒子的運動
開啟圖解模型拖動時間讓波峰碰到端點,再切換端點條件比較。
波的反射
開啟圖解模型固定波長,縮小狹縫寬度,比較中央亮紋的兩個暗邊。
光的波動性
開啟圖解模型移動觀測點,找出亮區與暗區,再切換兩波源相位。
波的干涉
開啟圖解模型增加第二個頻率,數一秒內包絡起伏的次數。
波的疊加
開啟圖解模型先移除中間偏振片,再加入並轉到 45°。
光的偏振
開啟圖解模型把驅動頻率慢慢掃過固有頻率,再增加阻尼。
振動
開啟圖解模型把力的方向轉到沿著桿,再轉成垂直,比較垂直力臂。
靜力平衡
開啟圖解模型提高離心率,沿時間滑桿移動行星,比較近日點與遠日點的扇形。
萬有引力
開啟圖解模型切換第二條導線的電流方向,再增加兩線距離。
電流的磁效應
開啟圖解模型切換 CO₂ 與 H₂O,旋轉模型並比較各方向是否抵消。
分子結構
開啟圖解模型逐步降低催化路徑的能障,觀察起點、終點是否跟著移動。
反應速率
開啟圖解模型固定地面溫度,調高相對濕度,找出溫度與露點相遇的高度。
大氣與天氣
開啟圖解模型讓地球繞行半年,再把近星推遠,觀察相對背景的位移。
宇宙尺度
開啟圖解模型先看最後的剖面猜事件先後,再逐步回放,檢查岩脈與斷層切過哪些地層。
地質歷史
開啟圖解模型試著縮短關鍵字,或清除年級與單元條件;也可以先看該學段的全部內容。
ATLAS / 即時探索
先顯示少量模型;想找指定單元,可用上方搜尋。
物理可操作模型
固定釋放角,把擺長增加:擺完一次需要更久嗎?
長度 1.2 m 時,小角度近似週期約 2.20 s。
薄荷綠箭頭為瞬時速度向量:方向沿圓弧切線,長度隨速度改變;公式採小角度近似。
擺長增加,週期依 √L 增加。小角度時,擺長變成四倍,週期才變成兩倍;大角度只能用此公式近似。
數學可操作模型
先只改 D,再只改 A:哪個移動中線,哪個改變上下振幅?
y = A sin(Bx+C)+D 中,振幅是 |A|,週期是 2π/|B|,中線是 y=D。A 為負時圖形還會上下翻轉。
物理可操作模型
增加拉繩幅度,對照繩端與重物的移動距離。
理想狀態所需拉力約 196.2 N;繩端移動 0.8 m,負載移動 0.4 m。
忽略滑輪與繩的質量及摩擦;同一條繩張力相同,動滑輪由兩股張力共同支撐。
理想動滑輪由兩股張力支撐,2T=W,所以拉力為重量一半。但繩端移動距離是重物的兩倍,省力不省功。
還有 55 個模型;每次增加少量,方便繼續探索。
這裡收錄 58 個數學、物理、化學與地球科學互動模型。先調整參數觀察變化,再閱讀概念、公式與例題;想循序推導,可以從互動講義開始。想用問題練習推理,可以進入遊戲式教材,和方毛怪一起操作七個情境。想看生活中的機器怎麼運作,可以進入科技拆解,查看冰箱的冷媒循環,或認識智慧手機與底片相機的拍照原理。
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