無界學堂 / 互動學習

動手探索，
讓理解慢慢成形。

在互動圖鑑中，挑一個模型動手探索；
或跟著一份講義，把想法一步步推導清楚。

HANDOUTS / 循序理解

從正在學的單元開始。

操作圖解、跟著推導，最後留下自己的發現。

共 15 份互動講義

不同版本，怎麼找單元？ ↓
01 / 數學r分割 → 展開 → 看見面積
A=πr2A=\pi r^2
國小・六年級圓周率與圓面積

圓面積的求法

把圓切開、排列、展開，看見圓面積公式從哪裡來。

  • 切割拼湊
  • 圓環展開
  • 割圓術

對照課本關鍵詞圓周長與圓面積、圓面積與扇形面積、圓周率

先備概念與延伸內容

半徑、直徑、圓周長，以及長方形與三角形的面積。

切割拼湊銜接圓面積單元；圓環展開與割圓術作為圖像探索。

課綱對應：S-6-3

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02 / 數學abc²
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
國中・八年級平方根與畢氏定理

畢氏定理

從四片直角三角形與正方形，連起面積比較、乘法公式與幾何證明。

  • 四片三角形比較
  • 和的平方公式
  • 歐幾里得面積證明

對照課本關鍵詞平方根與畢氏定理、畢氏定理、乘法公式、和的平方公式

先備概念與延伸內容

平方根、直角三角形、面積；代數證明先學和的平方公式。

歐幾里得證明含全等與等底等高的面積關係，可依班級進度補充。

課綱對應：S-8-6

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03 / 數學abhR
a+b2≥ab\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}
高中・一年級數與式

算幾不等式

在半圓上移動直角三角形，從母子相似理解兩種平均數的大小關係。

  • 半圓與母子相似
  • 三變數延伸

對照課本關鍵詞數與式、數線上的幾何、算幾不等式、算術平均與幾何平均

先備概念與延伸內容

平方根、三角形相似，以及直徑所對的圓周角為直角。

主題為兩個正數；三變數證明與 n 變數形式另列為延伸補充。

課綱對應：N-10-3

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04 / 數學內部角度 4.71 radx（rad）y0π2π金色虛線：中線 y = 0-2-112
y=Asin⁡(Bx+C)+Dy=A\sin(Bx+C)+D
高中・主題學習三角函數

三角函數：從單位圓到圖形

沿著單位圓走一圈，讓座標、角度、曲線與代數一起變化。

  • 單位圓與正弦
  • 振幅與中線
  • 週期與水平位移

對照課本關鍵詞單位圓、廣義角、週期、振幅、平移

先備概念與延伸內容

直角三角比、弧度與函數座標。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：三角函數

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05 / 物理物FF實像實線：實際光路；虛線：反向延長線
1f=1u+1v\frac1f=\frac1u+\frac1v
高中・主題學習幾何光學

透鏡成像：從光路到公式

逐條追蹤折射光線，用相似三角形理解實像、虛像與成像公式。

  • 兩條光線找像
  • 相似三角形與公式
  • 焦內虛像與焦點

對照課本關鍵詞凸透鏡、實像、虛像、焦距、放大率

先備概念與延伸內容

光沿直線傳播、折射、相似三角形。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：幾何光學

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06 / 數學a = (3, 0)b純量投影 = 2.12θ = 45°
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta
高中・主題學習平面向量

向量投影與內積

讓投影的方向、長度與座標計算連成同一件事。

  • 有方向的投影
  • 從投影到內積
  • 座標式與夾角

對照課本關鍵詞正射影、內積、夾角、垂直

先備概念與延伸內容

向量、三角比與平面座標。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：平面向量

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07 / 物理碰撞後　向右為正 →2 kg1.0 m/s1 kg4.0 m/s碰前動能碰後動能損失 0.00 J
m1u1+m2u2=m1v1+m2v2m_1u_1+m_2u_2=m_1v_1+m_2v_2
高中・主題學習動量與碰撞

碰撞、動量守恆與能量

選定系統與方向，再用動畫檢查碰撞前後哪些量守恆。

  • 系統與正方向
  • 完全彈性碰撞
  • 非彈性與能量去向

對照課本關鍵詞動量守恆、彈性碰撞、非彈性碰撞、恢復係數

先備概念與延伸內容

速度的正負、動量與動能。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：動量與碰撞

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08 / 化學0 → 20 s濃度（mol/L）0 → 20 s速率（mol/L/s）青：[A]／正反應橙：[B]／逆反應A ⇌ B　K = 2.00；粒子為轉換示意，非精確計數兩側持續互換；平衡後巨觀濃度不變
Kc=[B][A]=kfkrK_c=\frac{[B]}{[A]}=\frac{k_f}{k_r}
高中・主題學習化學平衡

動態平衡與勒沙特列原理

用粒子、濃度與速率三種視角，分清反應進行與平衡位置。

  • 從單向起始到動態平衡
  • 加入反應物
  • 溫度與催化劑

對照課本關鍵詞動態平衡、平衡常數、濃度、溫度、催化劑

先備概念與延伸內容

濃度、反應速率與可逆反應。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：化學平衡

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09 / 地科北南西東天空俯視投影・外圈為地平線太陽時高度 h01224地平線：h = 0°-60060
sin⁡h=sin⁡ϕsin⁡δ+cos⁡ϕcos⁡δcos⁡H\sin h=\sin\phi\sin\delta+\cos\phi\cos\delta\cos H
高中・主題學習地球運動與天球

天球、太陽路徑與四季

從觀測者的位置出發，一次只改緯度或季節，建立太陽路徑。

  • 站在地球上看天空
  • 緯度與正午高度
  • 赤緯、季節與晝長

對照課本關鍵詞天球、天極、赤緯、太陽高度、晝長

先備概念與延伸內容

地球自轉、公轉、地軸傾斜與角度。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：地球運動與天球

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10 / 數學xy青：y = bˣ-2-2-1-111223344556
y=bx  ⟺  x=log⁡byy=b^x\iff x=\log_b y
高中・主題學習指數與對數

指數與對數：互逆、圖形與運算

交換輸入與輸出，再把圖形對稱連回運算規則。

  • 從倍乘到指數
  • 交換輸入與輸出
  • 運算規則從哪裡來

對照課本關鍵詞指數函數、對數函數、反函數、對數律

先備概念與延伸內容

次方、函數、座標與指數律。

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課綱對應：指數與對數

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11 / 數學整體面積代表 1000 件；著色部分是 BA 中的 B：90.0非 A 中的 B：90.0B 共 180.0 件，其中 50.0% 屬於 A
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}
高中・主題學習條件機率

條件機率與貝氏定理

先縮小樣本空間，再用面積、人數與公式檢查直覺。

  • 先看整體樣本空間
  • 已知 B，就換分母
  • 全機率與貝氏定理

對照課本關鍵詞條件機率、貝氏定理、樹狀圖、基礎比率

先備概念與延伸內容

機率、交集與比例。

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課綱對應：條件機率

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12 / 物理SN固定線圈・正法向朝右 →位置 x相對單位青：單匝磁通量先觀察磁通量如何改變
E=−NdΦdt\mathcal E=-N\frac{d\Phi}{dt}
高中・主題學習電磁感應

電磁感應與楞次定律

先觀察磁通量怎麼變，再決定感應訊號與電流方向。

  • 有磁場就有感應嗎
  • 變化率與匝數
  • 負號、電流與能量

對照課本關鍵詞磁通量、法拉第定律、楞次定律、感應電動勢

先備概念與延伸內容

磁場、電流、磁通量與變化率。

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課綱對應：電磁感應

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13 / 化學H₂O　折線形　鍵角 104.5°HHO••••鍵結域 2孤電子對 2淡紫：孤電子對示意；不代表實測電子雲
μ⃗molecule=∑iμ⃗i\vec\mu_{\rm molecule}=\sum_i\vec\mu_i
高中・主題學習化學鍵與分子結構

分子形狀、鍵偶極與極性

從電子域走到立體形狀，再用向量合成判斷分子極性。

  • 先數電子域
  • 電子域排列與分子形狀
  • 鍵偶極與合成

對照課本關鍵詞VSEPR、電子域、孤電子對、分子極性

先備概念與延伸內容

價電子、共價鍵、路易斯結構與電負度。

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課綱對應：化學鍵與分子結構

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14 / 數學xy頂點式 y = a(x − h)² + k-5-4-3-2-112345-3-2-11234
y=a(x−h)2+ky=a(x-h)^2+k
高中・主題學習多項式函數

二次函數、配方法與判別式

把配方每一步連到圖形，再從交點數讀懂判別式。

  • 配方不是換一條曲線
  • 交點數與判別式
  • 從方程式到不等式

對照課本關鍵詞配方法、頂點式、判別式、二次不等式

先備概念與延伸內容

乘法公式、平方根、二次方程式與座標。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：多項式函數

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15 / 物理同向行波：青 + 藍 = 橙12和調整相位差，看兩波如何對齊
y=y1+y2y=y_1+y_2
高中・主題學習波動與光的干涉

波的疊加、駐波與干涉

先把同一點的位移相加，再理解固定節點與空間明暗條紋。

  • 同一位置的位移相加
  • 反向傳播形成駐波
  • 光程差與雙狹縫

對照課本關鍵詞疊加原理、駐波、節點、光程差、雙狹縫

先備概念與延伸內容

波長、頻率、相位與正弦函數。

依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

課綱對應：波動與光的干涉

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