對照關鍵詞：質數、合數、質因數、質因數分解、標準分解式、指數、篩法。出版社的章名、章次與學期安排可能不同，請以手邊課本為準。
先備概念：因數、倍數、整除與整數乘法。
國小可先探索質數與篩法，質因數分解與標準分解式銜接國中；依單元對照各出版社課本。
數學 / 質數、質因數分解與標準分解式
從方格排列辨認質數，用篩法找出 120 以內的質數，再把分組圖與乘法連成標準分解式。
第 1 節 / 共 4 節
72 是合數。比較下方全部因數，找出能整除它的零件大小。
圖形 ↔ 數字
1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72
72 有超過 2 個正因數，所以是合數。
「最根本的零件」指乘法中的零件：除了 1 格一組、或自己一整組，質數無法再用其他整數大小的等大零件剛好拼滿。只試一個除數不成功，還不能判定是質數。
觀察 → 推導 → 理解
在大於 1 的整數中，如果正因數只有 1 和自己，這個數就是質數。例如 13 只能用 1 格的零件重複 13 次，或用一整塊 13 格的零件。它不能再拆成兩個都大於 1 的整數相乘。
如果還有其他正因數，就叫合數。例如 12 可以排成 3×4 的長方形，所以 12 是合數。質數是乘法世界最根本的零件；這不表示它不能拆成加法，例如 13 仍然可以寫成 6＋7。
只試一種零件失敗，還不能判定是質數。例如 15 不能被 2 整除，卻能被 3 整除。判斷時，要確認沒有其他因數。1 只有一個正因數，不符合「恰有兩個正因數」，所以既不是質數也不是合數。
質數不能拆成兩個都大於 1 的整數相乘。1 是例外，不列入質數。
留下這次的發現
下載目前圖解、數值與筆記，附上無界學堂標誌及日期。
在大於 1 的整數中，如果正因數只有 1 和自己，這個數就是質數。例如 13 只能用 1 格的零件重複 13 次，或用一整塊 13 格的零件。它不能再拆成兩個都大於 1 的整數相乘。 如果還有其他正因數，就叫合數。例如 12 可以排成 3×4 的長方形，所以 12 是合數。質數是乘法世界最根本的零件；這不表示它不能拆成加法，例如 13 仍然可以寫成 6＋7。 只試一種零件失敗，還不能判定是質數。例如 15 不能被 2 整除，卻能被 3 整除。判斷時，要確認沒有其他因數。1 只有一個正因數，不符合「恰有兩個正因數」，所以既不是質數也不是合數。
先把 1 標為例外。保留 2，劃去 4、6、8……；再保留 3，劃去尚未劃掉的 9、15、21……。同樣處理 5 和 7。注意：保留質數本身，只劃去它的較大倍數。 為什麼只需要篩到 7？若 120 以內的合數寫成 a×b，且 a≤b，則 a 不可能大於 √120；否則乘積會超過 120。a 又必定含有某個不超過它的質因數，所以每個合數一定有 2、3、5、7 其中之一作為質因數。 每一輪可以從 p² 開始：小於 p² 的 p 的合數倍數，已經含有更小的質因數，在前面劃過。四輪完成後，所有未劃掉且大於 1 的數，都是質數。
72 可以分成 2 大組，每組 36；每大組再分成 2 組，每組 18；每組再分成 2 組，每組 9；接著分成 3 組，每組 3；最後每組有 3 格。因此 72＝2×2×2×3×3。 圖形的總面積始終維持 72 個單位方格，變的是分組層次。各層的分組數相乘，才得到總數；不能把圖中切出的面積直接相加，就當成質因數分解。 只要所有因數都是質數，分解就完成了。先用 2 分組，或先用 3 分組，順序可以不同；同一個大於 1 的整數，最後得到的質因數及各自出現次數都相同。1 沒有質因數；若原數已是質數，質因數就是它自己。
72 的質因數中，2 出現 3 次、3 出現 2 次。用指數記錄重複次數，就寫成 72＝2³×3²。把不同的質因數由小到大排列，得到標準分解式。 指數表示重複相乘，不是把底數乘上指數。例如 2³＝2×2×2＝8，而不是 2×3＝6。 若某個質因數只出現一次，指數 1 通常省略。例如 120＝2×2×2×3×5＝2³×3×5。檢查時先算各個次方，再相乘，應該回到原數。
