高中・一年級核心單元:數與式課綱 N-10-3 ↗
課本對照與先備概念

對照關鍵詞:數與式、數線上的幾何、算幾不等式、算術平均與幾何平均。出版社的章名、章次與學期安排可能不同,請以手邊課本為準。

先備概念:平方根、三角形相似,以及直徑所對的圓周角為直角。

主題為兩個正數;三變數證明與 n 變數形式另列為延伸補充。

高中一年級「數與式」・正數的平均

算幾不等式

算術平均數,是先相加再平均;幾何平均數,是先相乘再開根號。從一個半圓出發,看看為什麼兩個正數總有 (a + b) / 2 ≥ √(ab)

圖解可以左右滑動查看。

觀察 → 推論

延伸・不只兩個變數

更多個正數,也有算幾不等式。

對 n 個正數 x₁、x₂、…、xₙ(n ≥ 2):

x1+x2++xnnx1x2xnn

等號成立,若且唯若所有數都相等。這是一般形式的介紹;半圓圖解證明的是兩個數,三個數的證明請切換左側的延伸補充。

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課程位置與延伸閱讀

課程位置參考:國家教育研究院・高中數學第一冊「數與式」算幾不等式。三變數與一般形式在此作延伸補充。

延伸閱讀:Dumas、McCarthy:Arithmetic-Geometric Inequality

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