高中・主題學習核心單元:平面向量課綱 平面向量 ↗
課本對照與先備概念

對照關鍵詞:正射影、內積、夾角、垂直。出版社的章名、章次與學期安排可能不同,請以手邊課本為準。

先備概念:向量、三角比與平面座標。

依先備概念選用;高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。

數學 / 平面向量

向量投影與內積

讓投影的方向、長度與座標計算連成同一件事。

1 節 / 共 3

投影為何會從正值變成負值?

a = (3, 0)b純量投影 = 2.12θ = 45°

純量投影 = 2.12;a·b = 3 × 2.12 = 6.36。

觀察 → 推導 → 理解

有方向的投影

固定向量 a 沿正 x 方向,長度為 3。從 b 的終點向 a 所在直線作垂線,垂足就是正射影的位置。

幾何線段長度不為負,但沿 a 方向計算的純量投影可以為負。鈍角時垂足落在反方向,cos θ 也為負。

純量投影=bcosθ\text{純量投影}=|\vec b|\cos\theta

內積的正負源自方向,不是向量長度變成負數。

想一想:夾角 120° 時,b 沿 a 的純量投影為?

留下這次的發現

把觀察寫成自己的話。

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