對照關鍵詞：正射影、內積、夾角、垂直。出版社的章名、章次與學期安排可能不同，請以手邊課本為準。
先備概念：向量、三角比與平面座標。
依先備概念選用；高中必修與加深加廣的安排請對照手邊課本。本頁不預設各出版社的冊次。
數學 / 平面向量
讓投影的方向、長度與座標計算連成同一件事。
第 1 節 / 共 3 節
純量投影 = 2.12；a·b = 3 × 2.12 = 6.36。
觀察 → 推導 → 理解
固定向量 a 沿正 x 方向，長度為 3。從 b 的終點向 a 所在直線作垂線，垂足就是正射影的位置。
幾何線段長度不為負，但沿 a 方向計算的純量投影可以為負。鈍角時垂足落在反方向，cos θ 也為負。
內積的正負源自方向，不是向量長度變成負數。
留下這次的發現
下載目前圖解、數值與筆記，附上無界學堂標誌及日期。
固定向量 a 沿正 x 方向，長度為 3。從 b 的終點向 a 所在直線作垂線，垂足就是正射影的位置。 幾何線段長度不為負，但沿 a 方向計算的純量投影可以為負。鈍角時垂足落在反方向，cos θ 也為負。
把 b 沿 a 的純量投影乘上 |a|，定義兩向量的內積。結果是一個數，不是一支新的向量。 兩個非零向量垂直時 cos θ=0，內積為 0。反過來，兩個非零向量的內積為 0，也表示垂直；零向量不能用來定義夾角。
以垂直的單位向量 i、j 分解向量，i·i=j·j=1，而 i·j=0。利用分配律展開，交叉項消失。 所以內積可以直接用座標計算，再除以兩向量長度求 cos θ。圖中 a=(3,0)，因此結果就是 3 乘上 b 的 x 座標。
