數學 / 指數與對數

指數與對數：互逆、圖形與運算

交換輸入與輸出，再把圖形對稱連回運算規則。

第 1 節 / 共 3 節

x 每增加 1，函數值增加固定量，還是乘上固定倍率？

底數 b = 2；指數點 (1.00, 2.00) ↔ 對數點 (2.00, 1.00)。

觀察 → 推導 → 理解

指數函數的變化是固定倍率，不是固定差。以底數 2 為例，x 每增加 1，函數值就乘 2。

底數必須 b>0 且 b≠1，才有這裡討論的一對一指數函數與對數反函數。底數在 0 與 1 之間時，x 增加反而讓函數值減少。

b^{x+1}=b\cdot b^x

b^0=1,\quad b^{-x}=\frac1{b^x}

等距的 x 對應等比的 y。

想一想：y=2^x，x 從 2 增至 3，y 如何改變？

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重點問答

指數函數的變化是固定倍率，不是固定差。以底數 2 為例，x 每增加 1，函數值就乘 2。底數必須 b>0 且 b≠1，才有這裡討論的一對一指數函數與對數反函數。底數在 0 與 1 之間時，x 增加反而讓函數值減少。

指數問題給次方求結果；對數問題給結果求次方。所以 2³=8 與 log₂8=3 表達同一個關係。交換點的兩個座標，就是對直線 y=x 反射。指數函數值一定為正，所以對數函數的輸入只能大於 0。動畫是座標交換示意，不把中途位置當作另一個函數。

設 M=bᵖ、N=bᑫ，則 MN=bᵖ⁺ᑫ。兩邊取對數，乘積的對數就是 p+q。這個規則來自指數律，而不是背圖形。同理可得到商與次方規則；但對數沒有把加法拆開的規則，例如 log₂(2+4)=log₂6，並不等於 log₂2+log₂4=3。