數學 / 三角函數

三角函數：從單位圓到圖形

沿著單位圓走一圈，讓座標、角度、曲線與代數一起變化。

第 1 節 / 共 3 節

角度增加時，圓上點的哪個座標就是正弦值？

拖動動畫進度走完一圈，對照圓上的高度與右側曲線。

x = 0.00 rad；y = 0.00；週期 6.28 rad。

觀察 → 推導 → 理解

半徑為 1 的圓上，點 P 的座標是 (cos θ, sin θ)。正弦不是圓周上的距離，而是有正負方向的鉛直座標。

θ 從 0 走到 π/2 時，高度由 0 增到 1；走到 π 時回到 0。下半圓的鉛直座標為負，所以曲線降到橫軸下方。此步只看原始正弦，A、B、C、D 留到下一步。

P=(\cos\theta,\sin\theta)

\sin0=0,\quad\sin\frac\pi2=1,\quad\sin\pi=0

把圓上點的高度，按角度順序記錄下來，就得到正弦曲線。

想一想：θ = 3π/2 時，正弦值是？

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重點問答

半徑為 1 的圓上，點 P 的座標是 (cos θ, sin θ)。正弦不是圓周上的距離，而是有正負方向的鉛直座標。 θ 從 0 走到 π/2 時，高度由 0 增到 1；走到 π 時回到 0。下半圓的鉛直座標為負，所以曲線降到橫軸下方。此步只看原始正弦，A、B、C、D 留到下一步。

A 乘在正弦值外面，把離中線的距離放大；D 則加在整個函數外，所有點都一起上移或下移。因為正弦值介於 −1 與 1，A > 0 時最大值是 D+A，最小值是 D−A。本講義的 A 滑桿只取正值；一般情況振幅為 |A|。

正弦的內部角度每增加 2π 就重複一次。當 x 增加 T 時，Bx+C 增加 BT，因此 BT=2π。把 Bx+C 提出 B，得到 B(x+C/B)。因此水平位移是 −C/B，不能只把 C 當成位移量。動畫中的圓現在追蹤內部角度 Bx+C，右側則以 x 為橫軸。