數學 / 多項式函數

二次函數、配方法與判別式

把配方每一步連到圖形，再從交點數讀懂判別式。

第 1 節 / 共 3 節

一般式和頂點式，描述的是同一條曲線嗎？

a = 1，b = -2.00，c = 0.00；頂點 (1, -1)；Δ = 4.00；實根 0.00、2.00。

觀察 → 推導 → 理解

把 ax²+bx+c 先提出 a，再在括號內補上 (b/2a)² 並減回同一項，就能組成平方。過程每一步保持相等。

頂點式 a(x−h)²+k 可直接讀出頂點 (h,k)。本頁 a>0，開口向上；a<0 的情況則上下相反。

ax^2+bx+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}

h=-\frac b{2a},\quad k=c-\frac{b^2}{4a}

配方改變的是表達方式，不是函數本身。

想一想：y=(x−2)²+3 的頂點是？

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重點問答

把 ax²+bx+c 先提出 a，再在括號內補上 (b/2a)² 並減回同一項，就能組成平方。過程每一步保持相等。頂點式 a(x−h)²+k 可直接讀出頂點 (h,k)。本頁 a>0，開口向上；a<0 的情況則上下相反。

求零點就是解 a(x−h)²+k=0。當 a>0，k<0 有兩個實根；k=0 有一個相異實根；k>0 沒有實根。因為 Δ=b²−4ac=−4ak，所以頂點位置、平方根內的正負與判別式其實說的是同一件事。

方程式找 y=0 的位置；不等式則找 y 在橫軸上方或下方的整段範圍。a>0 且有兩根時，兩根之間 y<0，外側 y>0。若題目包含等號，就把端點也納入。沒有實根時不能憑空寫出「兩根之間」；應由開口與頂點判斷整體符號。